Q013.10歳のはなが手紙の試験の後に歌いましたが、なんで歌ったんですかね？

ストーリー上の意味はまったくありません。彼女は歌手ではなく翻訳家になるわけですし。
理由は脚本の都合です。

当時、はなは全く英語が分かりませんでした。
歌なしで「ばれる」→「謝る」→「勉強する」→「ドア越しに謝る」→「英語の達人！」
では説得力がありません。
あれだけうまく歌うと「歌えるわけがないだろ（本筋とは関係なさそうからいいけど）」「突然無理やり差し込まれたこの見せ場はなんだろう？（本筋とは関係なさそうからいいけど）」に隠れて「はなには英語の素養があるんだね」が視聴者に埋め込まれます。
結果、急速に伸びるはなの英語力に説得力が出て、納得ができます。